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<!DOCTYPE html>

<title>Uneigentliches Integral</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Uneigentliches Integral</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Ein <b>uneigentliches Integral</b> ist ein Begriff aus dem <a href="Teilgebiet_der_Mathematik" class="mw-redirect" title="Teilgebiet der Mathematik">mathematischen Teilgebiet</a> der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a>. Mit Hilfe dieses <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integralbegriffs</a> ist es möglich, <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> zu integrieren, die einzelne <a href="Singularit%C3%A4t_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Singularität (Mathematik)">Singularitäten</a> aufweisen oder deren <a href="Definitionsbereich" class="mw-redirect" title="Definitionsbereich">Definitionsbereich</a> <a href="Intervall_(Mathematik)#Unbeschränkte_Intervalle" title="Intervall (Mathematik)">unbeschränkt</a> ist und die deshalb nicht im eigentlichen Sinn integrierbar sind.

</p><p>Das uneigentliche Integral kann als Erweiterung des <a href="Riemann-Integral" class="mw-redirect" title="Riemann-Integral">Riemann-Integrals</a>, des <a href="Lebesgue-Integral" title="Lebesgue-Integral">Lebesgue-Integrals</a> oder auch anderer Integrationsbegriffe verstanden werden. Oftmals wird es allerdings im Zusammenhang mit dem Riemann-Integral betrachtet, da insbesondere das (eigentliche) Lebesgue-Integral schon viele Funktionen integrieren kann, die nur uneigentlich Riemann-integrierbar sind.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Es gibt zwei Gründe, warum uneigentliche Integrale betrachtet werden. Zum einen möchte man Funktionen auch über unbeschränkte Bereiche integrieren, beispielsweise von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca2608c4b5fd3bffc73585f8c67e379b4e99b6f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -\infty }" loading="lazy"></span> bis <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \infty }" loading="lazy"></span>. Dies ist mit dem Riemann-Integral ohne weiteres nicht möglich. Uneigentliche Integrale, die dieses Problem lösen, nennt man <i>uneigentliche Integrale erster Art</i>. Außerdem ist es auch von Interesse, Funktionen zu integrieren, die auf dem Rand ihres <a href="Definitionsbereich" class="mw-redirect" title="Definitionsbereich">Definitionsbereichs</a> eine <a href="Singularit%C3%A4t_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Singularität (Mathematik)">Singularität</a> haben. Uneigentliche Integrale, die das ermöglichen, nennt man <i>uneigentliche Integrale zweiter Art</i>. Es ist möglich, dass uneigentliche Integrale an einer Grenze uneigentlich erster Art und an der anderen Grenze uneigentlich zweiter Art sind. Jedoch ist es für die Definition des uneigentlichen Integrals unerheblich, von welcher Art das Integral ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Integrationsbereich_mit_einer_kritischen_Grenze">Integrationsbereich mit einer kritischen Grenze</h3></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\infty <a<b\leq \infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b4ca8f35c32b4c71955e5b986fda985b8f6fa52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.978ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -\infty <a<b\leq \infty }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon {[a,b[}\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon {[a,b[}\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cd0457373316f50189aaa46e0d5beec41d247f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon {[a,b[}\to \mathbb {R} }" loading="lazy"></span> eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a>, die über jedem abgeschlossenen Teilintervall <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,\beta ]\subset [a,b[}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,\beta ]\subset [a,b[}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2adf11eab749d67da6fca5b3fee7a29a17b16921.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.543ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,\beta ]\subset [a,b[}" loading="lazy"></span> integrierbar ist. Dann ist das uneigentliche Integral im Fall der <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Konvergenz</a> definiert durch

</p>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\lim _{\beta \nearrow b}\int _{a}^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8141b6f9936287d9405105168ba766592d4bd5c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:31.125ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\lim _{\beta \nearrow b}\int _{a}^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x\,.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Analog ist das uneigentliche Integral für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\infty \leq a<b<\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\infty \leq a<b<\infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10587dc1866e23a962654e41d8d2aa48194e593c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.978ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -\infty \leq a<b<\infty }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon {]a,b]}\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon {]a,b]}\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef52d7d1d949c02c991d7690ef88cb2689adbfa6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon {]a,b]}\to \mathbb {R} }" loading="lazy"></span> definiert.<sup id="cite_ref-koe1-218_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-koe1-218-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Existiert der Grenzwert nicht, so nennt man <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75c980562004d96eee429ecea3062e59076825a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.216ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}" loading="lazy"></span> auch ein <i>divergentes Integral.</i>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Integrationsbereich_mit_zwei_kritischen_Grenzen">Integrationsbereich mit zwei kritischen Grenzen</h3></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcfad644661d67e3b494b432bb3563a56f556812.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.978ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon {]a,b[}\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon {]a,b[}\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11d2c2898c603ff521c5682305b0fa89bedac063.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon {]a,b[}\to \mathbb {R} }" loading="lazy"></span> eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a>. So ist das uneigentliche Integral im Fall der <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Konvergenz</a> definiert durch

</p>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16792b82c8f82d57ccb1c1fab0b97fc7bbcb0a50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:41.273ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<c<b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<c<b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b5555ee657247e2c7c2b930cc75ba2349395d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.431ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<c<b}" loading="lazy"></span> gilt und die beiden rechten Integrale uneigentliche Integrale mit einer kritischen Grenze sind.<sup id="cite_ref-koe1-218_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-koe1-218-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Ausgeschrieben heißt das

</p>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\lim _{\alpha \searrow a}\int _{\alpha }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x+\lim _{\beta \nearrow b}\int _{c}^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c691c9ebddd686d9f9a37386d63aa8a125efe32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:49.139ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\lim _{\alpha \searrow a}\int _{\alpha }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x+\lim _{\beta \nearrow b}\int _{c}^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x\,.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die Konvergenz und der Wert des Integrals hängt nicht von der Wahl von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"></span> ab.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Integrale_zweier_Potenz-Funktionen">Integrale zweier Potenz-Funktionen</h3></div>

<p>Falls eine <a href="Stammfunktion" title="Stammfunktion">Stammfunktion</a> bekannt ist, kann wie im eigentlichen Fall das Integral an der benachbarten Stelle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"></span> ausgewertet werden und dann der Grenzwert für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta \nearrow b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta \nearrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e975f3438b68c0768458135f64f10dd86b5a18b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.944ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \beta \nearrow b}" loading="lazy"></span> berechnet werden. Ein Beispiel ist das Integral

</p>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x}}}=2{\sqrt {x}}{\Big |}_{0}^{1}=2\,,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f69775e0beae74f0fe129e55bd62eb8f9de92df4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:22.53ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x}}}=2{\sqrt {x}}{\Big |}_{0}^{1}=2\,,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>bei dem der <a href="Integrand" class="mw-redirect" title="Integrand">Integrand</a> bei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy"></span> eine <a href="Definitionsl%C3%BCcke" title="Definitionslücke">Singularität</a> besitzt und daher nicht als (eigentliches) Riemann-Integral existiert. Fasst man das Integral als uneigentliches Riemann-Integral zweiter Art auf, so gilt

</p>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{\alpha \searrow 0}\int _{\alpha }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\alpha \searrow 0}\left[2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {\alpha }}\right]=2\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49f44542c8ca01ca093b3419f064b8bc56183a70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:40.845ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \lim _{\alpha \searrow 0}\int _{\alpha }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\alpha \searrow 0}\left[2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {\alpha }}\right]=2\,.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Das Integral

</p>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2de3559531ee738c3a56a9796d190042ef40be6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:10.956ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>hat einen unbeschränkten Definitionsbereich und ist daher ein uneigentliches Integral erster Art. Es gilt

</p>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }\int _{1}^{\beta }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\beta \to \infty }\left[-{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{1}}\right]=1\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a572e4171bbe27aa2da758b20dd304314bb4cd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:39.149ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }\int _{1}^{\beta }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\beta \to \infty }\left[-{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{1}}\right]=1\,.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gaußsches_Fehlerintegral"><span id="Gau.C3.9Fsches_Fehlerintegral"></span>Gaußsches Fehlerintegral</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Fehlerintegral" title="Fehlerintegral">Fehlerintegral</a></i></div>

<p>Das Gaußsche Fehlerintegral

</p>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8889516a01ef3f3d7abedad2820f16531cdc85c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.241ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>ist ein uneigentliches Riemann-Integral erster Art. Im Sinn der <a href="Lebesgue-Integral" title="Lebesgue-Integral">lebesgueschen Integrationstheorie</a> existiert das Integral auch im eigentlichen Sinn.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kosmische_Geschwindigkeit">Kosmische Geschwindigkeit</h3></div>

<p>In der Physik lässt sich die <a href="Fluchtgeschwindigkeit_(Raumfahrt)" title="Fluchtgeschwindigkeit (Raumfahrt)">Fluchtgeschwindigkeit</a> über ein uneigentliches Integral berechnen. Die Fluchtgeschwindigkeit eines Massekörpers wie beispielsweise einer <a href="Rakete" title="Rakete">Rakete</a> von einem Himmelskörper ist die erforderliche Geschwindigkeit, sich aus seinem <a href="Gravitationsfeld" title="Gravitationsfeld">Gravitationsfeld</a> ohne weiteren <a href="Ballistik" title="Ballistik">ballistischen</a> Antrieb zu entfernen. Da <a href="Gravitation" title="Gravitation">Gravitation</a> eine unendliche Reichweite hat, muss der Körper über ausreichend Energie besitzen, dieses Feld verlassen zu können. Um die Energie zu erreichen, braucht es eine bestimmte Mindestgeschwindigkeit, die man als Fluchtgeschwindigkeit bezeichnet. Da die Gravitationskraft trotz ihrer unendlichen Reichweite im Quadrat seiner Entfernung abnimmt ist die erforderliche Energie beziehungsweise Fluchtgeschwindigkeit endlich.

</p><p>Zur Berechnung der Gravitationskraft <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"></span> zweier Massekörper <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {m_{1}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {m_{1}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b432651688b3cd4bc987ebdba914f64d7ea1d19e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {m_{1}}}" loading="lazy"></span>, der Masse des fliehenden Körpers, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {m_{2}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {m_{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/708975748eabbb740fd56ea6dac563032a0f639f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {m_{2}}}" loading="lazy"></span>, der Masse des Himmelskörpers, in Abhängigkeit von der Abstandskoordinate <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"></span> verwendet man:

</p>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(r)=\gamma \cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7bbafe2be7a6f06e28517ab92d16cdbc2d1aca4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:17.664ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle F(r)=\gamma \cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die erforderliche Energie um von der Oberfläche mit dem Abstand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"></span> zu entkommen beträgt

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R)=\int _{r=R_{0}}^{R}\gamma \cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\mathrm {d} r=\gamma \cdot {m_{1}}\cdot {m_{2}}\cdot {\Big [}{\frac {1}{R_{0}}}-{\frac {1}{R}}{\Big ]}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c10da923fa93d3e10d9d90632a48dd3470be6de4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:54.03ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle E(R)=\int _{r=R_{0}}^{R}\gamma \cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\mathrm {d} r=\gamma \cdot {m_{1}}\cdot {m_{2}}\cdot {\Big [}{\frac {1}{R_{0}}}-{\frac {1}{R}}{\Big ]}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Im Grenzwertprozess lässt man <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ca7d5b966cc1c6afc9e27cb36398b2a78ad3555.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.702ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R\to \infty }" loading="lazy"></span> streben und erhält so die Formel für das uneigentliche Integral

</p>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R)=\gamma \cdot {m_{1}}\cdot {m_{2}}\int _{r=R_{0}}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}=\gamma \cdot {\frac {{m_{1}}{m_{2}}}{R_{0}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bba99f2160ed515285ba658f9ffb20679cf8c2f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:41.898ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle E(R)=\gamma \cdot {m_{1}}\cdot {m_{2}}\int _{r=R_{0}}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}=\gamma \cdot {\frac {{m_{1}}{m_{2}}}{R_{0}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Nun kann aus der Gleichsetzung der <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetischen Energie</a> mit der Energie aus dem Gravitationsfeld zu entkommen die Geschwindigkeit errechnet werden, um gerade diesem Gravitationsfeld zu entkommen

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}{m_{1}}v^{2}=\gamma \cdot {\frac {{m_{1}}{m_{2}}}{R_{0}}}\Rightarrow v={\sqrt {2\cdot \gamma \cdot {\frac {m_{2}}{R_{0}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ebaed60f8e70168c071a67df35eb78010c3c596.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:40.218ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}{m_{1}}v^{2}=\gamma \cdot {\frac {{m_{1}}{m_{2}}}{R_{0}}}\Rightarrow v={\sqrt {2\cdot \gamma \cdot {\frac {m_{2}}{R_{0}}}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Aus der resultierenden Gleichung für die Fluchtgeschwindigkeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"></span> erkennt man, dass <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"></span> von der Masse des fliehenden Körpers unabhängig ist und nur vom Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche des Planeten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b8916196f182fcbaaca54f931176a4a4f5769cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.818ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{0}}" loading="lazy"></span>, der Planetenmasse <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ecebe334d5cadc3ffcf245eb02919034d7a2ec8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{2}}" loading="lazy"></span> und der <a href="Gravitationskonstante" title="Gravitationskonstante">Gravitationskonstante</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"></span> abhängt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beziehung_zwischen_eigentlichen_und_uneigentlichen_Riemann-_und_Lebesgue-Integralen">Beziehung zwischen eigentlichen und uneigentlichen Riemann- und Lebesgue-Integralen</h2></div>

<ul><li>Jede Riemann-integrierbare Funktion ist auch Lebesgue-integrierbar.</li>

<li>Somit ist jede uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion auch uneigentlich Lebesgue-integrierbar.</li>

<li>Es gibt Funktionen, die uneigentlich Riemann-integrierbar, aber nicht Lebesgue-integrierbar sind, man betrachte etwa das Integral</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

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</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3613d2bc87277ea1ec2b42a9df0e2886fb35f9c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.791ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x.}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd>

<dd>(Es existiert nicht im Lebesgue-Sinn, da für jede Lebesgue-integrierbare Funktion auch ihr <a href="Absolutbetrag" class="mw-redirect" title="Absolutbetrag">Absolutbetrag</a> Lebesgue-integrierbar ist, was mit nützlichen Eigenschaften der <a href="Lp-Raum" title="Lp-Raum">durch das Lebesgue-Integral definierten Funktionenräume</a> einhergeht, die somit beim uneigentlichen Lebesgue-Integral verloren gehen).</dd></dl>

<ul><li>Auf der anderen Seite gibt es Funktionen, die Lebesgue-integrierbar, aber nicht (auch nicht uneigentlich) Riemann-integrierbar sind, z. B. die <a href="Dirichlet-Funktion" title="Dirichlet-Funktion">Dirichlet-Funktion</a> auf einem beschränkten Intervall.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Improper_integral?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Improper integral</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li>Christoph Bock: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.drchristophbock.de/ElAna.pdf">Elemente der Analysis</a> (PDF; 2,2 MB) Abschnitt 8.33</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-koe1-218-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-koe1-218_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-koe1-218_1-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><a href="Konrad_K%C3%B6nigsberger" title="Konrad Königsberger">Konrad Königsberger</a>: <i>Analysis 1</i>. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 218.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-11-30" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Uneigentliches_Integral&oldid=261999871">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>